[2015년 덕이고]

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[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

두 지수함수 [eqn: f(x)=a ^{x-b}], [eqn: g(x)=a ^{b-x}]가 다음 조건을 만족시킨다.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 차 [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a>1]) [4.8점]

(가) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=g(x)]의
그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.

(나) [eqn: g(1)-f(1)= {24} over {5}]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

로그함수 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: {x _{2} +x _{3}} over {x _{1}}]의 값은? (단, 점선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행) [4.3점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

구입한 날로부터 [eqn: 1]년이 지날 때마다 그 가치가 [eqn: 20%]씩 하락하는 물건이 있다. [eqn: 30]만원을 주고 구입한 이 물건의 가치가 [eqn: 6]만원 이하로 떨어지는 것은 최소 몇 년 후인가? (단, [eqn: log2=0.3]) [4.9점]

①

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 25]

[eqn: lim _{n-> INF } {LEFT { {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {n+1} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {n+2} RIGHT ) ··· LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT ) RIGHT } ^{2n}}]의 값은?
[4.4점]

⑤

① [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	② [eqn: {1} over {e}]	③ [eqn: 1]

④  [eqn: sqrt {e}]	⑤ [eqn: e]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x>-1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: ln(1+x)LEQ f(x) LEQ {1} over {2} LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT )]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{x-> 0} {{3f(2x)+x ^{2}} over {x}}]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: e]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 2e]

중심각의 크기가 [eqn: {3} over {4}]이고 넓이가 [eqn: 6]인 부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 호의 길이를 [eqn: l]이라고 할 때, [eqn: r+l]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: sin theta -cos theta =sin theta cos theta]일 때, [eqn: sin theta cos theta]의 값은 [eqn: a+b sqrt {2}]이다.
[eqn: 3a+5b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수) [4.7점]

④

① [eqn: -8]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 8]

그림은 [eqn: y=a sinb LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) -1]의 그래프이다.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a<0], [eqn: b>0]) [4.7점]

①

① [eqn: -12]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} -x RIGHT ) +sin( pi +x)+cos LEFT ( {3 pi } over {2} +x RIGHT ) +sin(-x)]를 간단히 하면? [4.6점]

③

① [eqn: -2 sinx]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: sinx-cos x]	⑤ [eqn: 2sinx]

오실로스코프를 이용하면 직류와 교류의 전압과 파형을 측정할 수 있다. 어느 교류에서 시간을 [eqn: t]초, 교류전압을 [eqn: y rmV]라고 하면, 이 교류의 파형은 삼각함수 [eqn: y=300`sin`120 pi t]의 그래프로 나타난다고 한다. [eqn: 0 LEQ t LEQ {1} over {2}]일 때, 교류전압이 [eqn: 150 rm V] 이상인 시간은 모두 몇 초 동안인가? [4.9점]

②

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④  [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

좌표평면에서 두 직선 [eqn: y=-3x], [eqn: y=2x]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: {1} over {sqrt {3}}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1]

④  [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: 3]

다음은 제시된 문제를 해결하는 과정이다.

①~⑤에 해당하는 수 또는 수식 중 알맞지 않은 것은? [4.9점]

[문제]

그림과 같이 단위원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rm P]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: rm P]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라고 하자. 점 [eqn: rm A(1,```0)]과 원점 [eqn: rm O]에 대하여 [eqn: rm ANGLE PAO=theta]라고 할 때, [eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {rm{bar{PQ} `- bar{OQ}} over {theta - {pi } over {4}}}]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 2]사분면 위의 점이다.)

[해결과정]

반지름 [eqn: rm OP]를 그으면 [eqn: ANGLE rm POQ=①]

[eqn: rmbar{PQ}], [eqn: rmbar{OQ}]의 길이를 [eqn: theta]의 식으로 나타내면

[eqn: rmbar{PQ} =②],   [eqn: rm bar{OQ} =③]   [eqn: cdotscdots] ㉠

㉠을 [eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {rm {bar{PQ} `- bar{OQ}} over {theta - {pi } over {4}}}]에 대입하여 정리하면

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {rm{bar{PQ} `- bar{OQ}} over {theta - {pi } over {4}}}=④]   [eqn: cdotscdots] ㉡

[답구하기]

㉡에서 [eqn: theta - {pi } over {4} =t]로 놓고 극한값을 계산하면

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {rm {bar{PQ} `- bar{OQ}} over {theta - {pi } over {4}}} it =⑤]

⑤

① [eqn: 2 theta]	② [eqn: tan`2 theta]	③ [eqn: {1} over {cos`2 theta }]

④ [eqn: lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{sin`2 theta `-1} over {LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT ) cos`2 theta }}]	⑤ [eqn: -1]

[eqn: lim _{x -> pi } {{sqrt {a+cos x} -b} over {(x- pi ) ^{2}}} = {1} over {8}]이 성립하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [5.1점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 11]

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} cos x]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {{f( pi +h)-f( pi -h)} over {3h}}]의
값은? [4.5점]

①

① [eqn: - {2} over {3} e ^{pi }]	② [eqn: -e ^{pi }]	③ [eqn: 0]

④  [eqn: e ^{pi }]	⑤ [eqn: {2} over {3} e ^{pi }]

함수 [eqn: y=a cosx+b]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {2} ,```1 RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -2]일 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 차 [eqn: a-b]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

서술형

함수 [eqn: f(x)= {cases{a`ln(x-1)&```(x>2)#`e ^{x-1} +b&```(0<x LEQ 2)}}]가 [eqn: x=2]에서 미분가능할 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]를 각각 구하시오. [6.0점]

[eqn: a=e,``b=-e]

함수 [eqn: f(x)=2cos ^{2} LEFT ( {pi } over {6} x+ {pi } over {4} RIGHT )]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 10.0점]

(1) [eqn: f(x)=2cos ^{2} LEFT ( {pi } over {6} x+ {pi } over {4} RIGHT )][eqn: =2 TIMES { 1+cos`` 2 LEFT ( {pi } over {6} x+ {pi } over {4} RIGHT )} OVER {2}]

[eqn: ={ 1 +cos LEFT ( {pi } over {3} x+ {pi } over {2} RIGHT )][eqn: =1-sin {pi } over {3} x]

(2) [eqn: x = 1over2 ,`` 5over2 ,``13over2 , ``17over2],   [eqn: x= 3,``6,``9]

(1) [eqn: f(x)=1-sin {pi } over {3} x]임을 보이시오. [3.0점]

(2) [eqn: 0<x<10]일 때, 방정식 [eqn: f(x)-cos {2 pi } over {3} x=0]의 모든 실근을
구하시오. [7.0점]

원점 [eqn: rmO]를 중심으로 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원의 둘레 위에 정점 [eqn: rmA(1,```0)]이 있다. 반지름 [eqn: rmOA]와 직교하는 현 [eqn: rmPQ]를 잡고,
[eqn: angle rm POA=theta]라 하자.

[eqn: TRIANGLE rm APQ]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라고 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0} {{S( theta )} over {S LEFT ( {theta } over {4} RIGHT )}}]의 값을 구하시오. [6.0점]

[eqn: 64]

함수 [eqn: f(x)= {cases{`2cosx+x ^{2} sin {1} over {x} &```(x != 0)#`2&```(x=0)}}]에 관한 물음에 답하시오. [총 8.0점]

(1) [eqn: 0]	(2) [eqn: 0]

(1) [eqn: lim _{x -> 0} {x`sin {1} over {x}}]의 값을 샌드위치 정리를 이용하여 구하시오.
[4.0점]

(2) (1)의 결과와 미분계수의 정의를 이용하여 [eqn: f`'(0)]의 값을
구하시오. [4.0점]

[2015년 덕이고]

[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com